Asymptotische Gesetƶe der Wahrscheinlichkeitsrechnung by A. Khintchine (auth.)

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Initially provided because the author's thesis (doctoral)--Technische Universit'at M'unchen, 1994.

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Die Ungleichung (7), die wir für die Funktion v;' d (x, y) bewiesen haben, und die entsprechende Integralgleichung, welcher w (x, y) als Lösung eines Problems P genügt, lassen dann ganz wie im vorstehenden Paragraphen leicht erkennen, daß überall in der Halbebene x > 0 w(x,y) <:: V;'d(X,y) ist. (x,y) <:: w(x,y) ist, denn auf U ist diese Ungleichung nach der Definition von v;' d (x, y) erfüllt; demnach erhält man in der ganzen Halbebene x > 0 Ul(X,y):::::; V:'d(X,y). Läßt man nun zunächst 151 und 152 unendlich klein werden, so wird auch (vgl.

X, t) + ak(x)a;iJ Vi· 1 iJ2 Vi f V,(;, + 2 bdx) 8x 2- +], ] = lf(~ - X)2 e(x, ;, t) dFk(x, ;). deutet; im ersten Teil folgt die Abschätzung aus der Kleinheit von I; - x I und der vorausgesetzten gleichmäßigen Stetigkeit "2V* von ~ 2'; im zweiten Teil ist sie eine Folge der gleichmäßigen Bex iJ2 V* schränktheit von iJx: und der LINDEBERGSchen Bedingung (L). Wenn wir noch die Relationen (1) und die für Vi gültige Gleichung (4) berücksichtigen, erhalten wir demnach fVi(;, t) dF k (x, ~) = Vi (x, t) + Ll k {IX (x) ~:i + ~ ß(x) iJ;:2i } + 0 (Ll k ) = Vi(x,t) + Ll k iJJei - BLl k + o (Ll k) ; 297} 29 § 1.

X, ~) = j1 1 Somit ist f(~ f(~ - ~<:x-fl, < ~ <: x + p, > x +P . \(x,;) = fl2; setzt man Je = fl2, so gelten die Formeln (12) und (13) mit IX(X) = 0, = 1, und offensichtlich ist auch die LINDEBERGSche Bedingung (L) "erfüllt. Für lt ---+ konvergiert folglich die gesuchte Wahrscheinlichkeit ß) = 1 ausgegen die durch die Randbedingung v (0) = 0, V(IX gesonderte Lösung v (x) der Gleichung ß(x) ° + d2 v dx 2 = Somit ist 0. x v (x) = IX + {J , v(ß) = IX +ß ß . und insbesondere § 3. Zweidimensionaler Fall.

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