Approximationstheorie auf der Einheitskugel im ℝ3 : by Dr. rer. nat. Matthias Wehrens (auth.)

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17]). Entscheidend fUr die Charakterisierung der Konvergenzgeschwindigkeit der besten Approximation En(f;X) durch "Glatthei tsbedingungen" an die Funktion f € X sind die folgenden Jackson- und Bernstein - Ungleichungen: Satz 4. 2) Beweis. Sei zunachst r = 1. ;;; n/2 ist. 1. 1. 3) folgt dann IIf-r n *fll X = ... 1) fUr r = 1. 5, eine Linearkombinat ion iterierter Verfahren r L j=1 (-1) j+1 r (),)r n * (r n * ••• (r n * f) ••• ). j-fach Mit den gleichen Methoden wie in Butzer -Nessel [8. S. 1). 2) finden wir in Butzer Johnen [ 7, S.

U. 2). 3) folgt ahnlich. 3. 4. a) FUr f EX, rEIN gilt: lim K(t,f;X,~) t+O+ b) 0 • Sei s,t >0, f EX, r EN; dann gilt r) K(st,f;X,WX ~ max{1,s}K(t,f;X,Wxr ) ~ (1+S)K(t,f;X,~). c» und somit ~ dicht in X ist; Teil b) ergibt sich unmittelbar aus der Definition. 5. 4) Beweis. 2. r a), e), f): sei namlich g E Wx ' dann gilt - 31 - Bildet man das Infimum Uber g E w~, so folgt die Ungleichung. BezUglich der zweiten Ungleichung bilden wir aus einer Linearkombination der Integralmittel den Approximationsprozess (oE(-1,1)); es gilt dann die Darstellung Br = I _ (I _ Ar) r o 0 ' wobei mit I der Identitatsoperator bzeichnet wird.

2) Beweis. Sei zunachst r = 1. ;;; n/2 ist. 1. 1. 3) folgt dann IIf-r n *fll X = ... 1) fUr r = 1. 5, eine Linearkombinat ion iterierter Verfahren r L j=1 (-1) j+1 r (),)r n * (r n * ••• (r n * f) ••• ). j-fach Mit den gleichen Methoden wie in Butzer -Nessel [8. S. 1). 2) finden wir in Butzer Johnen [ 7, S. 18). 2. 6) wobei die Konstante M nur von fund r abhangt. Beweis. Sei g E w~ beliebig; dann folgt aus der Anwendung der Jackson - Ungleichung (4. 5 folgt. 6) folgt unmittelbar. B. [10, S. 3. 0;; (n EN), Mn -2r-2a+2r 2 (n EN), iv) (t > 0) , v) f E Lip vi) r 2 r2 f EWx ' D f ELiPr -r (r-r 2 +lli X).

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